Геометрия двумерных существ

Представьте себе растянутую резиновую пленку с нанесенной на ней сеткой. Она будет играть роль существ координатной сетки. Это — модель пространства (но только не трех, а двух измерений), обладающего евклидовыми свойствами. Если представить себе, что на этой пленке обитают какие-то фантастические двумерные существа, обладающие к тому же интеллектом, то среди них рано или поздно должен появиться свой Евклид, который сформулирует основы геометрии, которые будут точно такими же, как обычная геометрия Евклида на плоскости.

072.gif

Но вот мы надавили пальцем на какой-то участок пленки. Этот участок растянулся, изменились углы между линиями, отношение длины окружности к диаметру перестало быть равным л, сумма углов треугольника сделалась отличной от 2d,— одним словом, произошло то, что двумерные геометры с неизбежностью должны истолковать как нарушение евклидовой геометрии, как искривление пространства. Заметьте, все эти явления сказываются тек сильнее, чем ближе участок пленки к возмущающему телу — в нашем примере к оказывающему давление пальцу.

Может появиться соблазн продолжить аналогию с пленкой еще дальше. В самом деле, почему бы не сравнить действие пальца, надавливающего на пленку, с действием масс, вызывающих тяготение. Тем более, что от давления пальца в одном месте пленки во всех других местах появляются соответствующие упругие натяжения, которые так и хочется сравнить с гравитационными силами (они, кстати, даже убывают с расстоянием почти так же, как тяготение). Однако эту аналогию нельзя считать очень глубокой. Ни с какой упругостью гравитация, конечно, не связана. Сходство начинается и кончается чисто геометрической стороной дела.